Matematica I. Funciones, Limites y Derivadas

Derivadas

Concepto

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

Propiedades

Derivada una función constante:

la derivada de una función constante es cero.

Ejemplo.

Si $\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 2, \, \forall x \in \mathbb{R}$ , entonces
$\mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right) = 0, \, \forall x \in \mathbb{R}$

Derivada de una suma de funciones:

La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de dichas funciones:

Este resultado, se puede ampliar a cualquier número de funciones:

$\left( \, \mathrm{f}_1 + \mathrm{f}_n + \ldots + \mathrm{f}_n \, \right)^\prime = \mathrm{f}_1^\prime + \mathrm{f}_n^\prime + \ldots + \mathrm{f}_n^\prime$

Derivada de una diferencia de funciones:

La derivada de la diferencia de dos funciones es igual a la diferencia de las derivadas de dichas funciones:

Ejemplo.

$\left( </p> <pre> \, x^2 - x \, </pre> <p>\right)^\prime = \left( \, x^2 \, \right)^\prime - \left( \, x \, \right)^\prime = 2x - 1$

Derivada de un Producto de Funciones.

La derivada del producto de dos funciones, $\mathrm{f}$ y $\mathrm{g}$ , viene dada por la fórmula:

Ejemplo.

$\left( </p> <pre> \, x^2 \cdot x \, </pre> <p>\right)^\prime = \left( \, x^2 \, \right)^\prime \cdot x + x^2 \cdot \left( \, x \, \right)^\prime = 2x \cdot x + x^2 \cdot 1 = 3x^2$